La paradoja del voto

Si pudiésemos contar con que las personas no falsean sus preferencias individuales, su suma presenta problemas. A título de ejemplo, consideremos una comunidad compuesta por tres miembros: X, Y y Z. X es “izquierdas”, Y “moderado” y Z “conservador”. El asunto sobre el que han de votar es el presupuesto comunitario. Este admite tres posibilidades según los proyectos de ley presentados. Las posibilidades son un presupuesto alto (A), uno de tamaño medio (M) y otro austero (B). Por otro lado, la comunidad se ajusta a un equilibrio presupuestario, es decir, que su volumen de ingresos (y su presión fiscal) va a depender de sus gastos.

El cuadro resume la situación. Recoge las preferencias individuales recogidas de los tres individuos. Así, Z que es el conservador, prefiere un nivel bajo de gastos. Pero en caso de no conseguirlo, se inclina por un presupuesto alto (más y mejores servicios) en vez de por uno bajo. De la misma forma nos pasaría con los otros dos individuos.

1ª Preferencia 2ª Preferencia 3ª Preferencia

X     A M B

Y     M B A

Z     B A M

Ante lo que hemos visto, se trataría de establecer un sistema de votación que permita la elección de una sola de las alternativas y que resulte consistente. Lo más sencillo sería aplicar la norma de la mayoría simple. Pero, en nuestro ejemplo, eso no lleva a ninguna parte. Cada una de las tres alternativas obtiene un voto y ninguna de ellas consigue una aceptación mayoritaria. ¿Cómo solucionar el problema? Con la llamada cuenta de Condorcet. En su aplicación, las alternativas se votan de dos en dos. La que sale vencedora se enfrenta con una nueva opción, y así sucesivamente. Hasta que se llega a una alternativa que no puede ser derrotada por ninguna otra y que es considerada como mayoritaria. Este procedimiento es el que se sigue en la mayoría de los Parlamentos. En los parlamentos se realizan comparaciones entre pares de alternativas. Inicialmente se plantea una moción y sobre ella se presenta una enmienda. Entre una y otra se establece una votación eliminatoria. Si se aprueba la enmienda, la votación siguiente se realizará sobre la moción enmendada; en caso contrario, se volverá a votar sobre la original, hasta llegar al final del proceso con una determinada moción que se declara vencedora.

Aplicando este criterio a la ordenación de preferencias del ejemplo se obtiene un resultado llamativo. Al enfrentar la opción A con la M, la primera cuenta con los votos de X y Z frente al de Y, que se decanta por la segunda. A es la alternativa vencedora, por dos a uno, y tendrá que enfrentarse con B. En esta ocasión, A cuenta con el voto de X, pero tanto Y como Z prefieren un presupuesto bajo. La opción B sería la mayoritaria. Si ahora la enfrentamos con M, la alternativa descartada en el primer turno, ahora la derrotada sería B, con el único voto de Z,… Estamos en un bucle cerrado. Estamos en un proceso cíclico que refleja la paradoja de Black y el teorema de la imposibilidad de Arrow